Закон постоянства количества предков
Количество предков в каждом поколении, в любой ветви дерева, стремиться к постоянной величине (диапазону).
На практике целесообразно рассматривать ветви с постоянными условиями (местность, сословие, вероисповедание, национальность и т.д.).
Предлагаемый закон тесно связан с тремя предыдущими, один из которых, закон уменьшения предков начинает работать, когда в восходящем дереве встречается пара предков, имеющих общих родителей или одного общего родителя. Другими словами, когда в восходящем дереве появляются братья и/или сестры (родные или сводные).
Предположим, что в поколении n+1 произошла первая редукция предков. Это явилось следствием того, что в поколении n (в котором количество предков равно 2n, если считать себя в нулевом поколении) появились братья и/или сестры, которые могут находиться в том же поколении n или более ранних.
Учитывая, что братья и/или сестры являются детьми одних родителей, то количество поколений до них будет примерно одинаковым. Но поскольку возраст братьев и/или сестер может отличаться лет на 20 (около 1 поколения), а также существует значительная вероятность, что на сто лет может выпасть деятельность 3 или 4 поколений, то наиболее вероятно, что братья и/или сестры окажутся в одном поколении, соседних или через одно поколение.
Таким образом, если рассматривать возможность редукции за счет братьев и/или сестер на протяжении трех поколений, то возможны 3 варианта.
Каждый брат и/или сестра должны иметь двух предков на одно поколение выше их. При этом уменьшение предков происходит за счет родителей, находящихся в более старшем поколении. В указанных примерах редукция происходит в поколении n+1.
Обозначим через Lm, Lm-1, Lm-2 – количество предков в m, m‑1 и m-2 поколениях соответственно. Для первого поколения, в котором произошла редукция предков (n+1) эти значения соответственно равны 2n, 2n-1, 2n-2.
Тогда в первом случае количество возможных комбинаций пар братьев и/или сестер (далее-ВКПБиС) равно.
Вообще-то, поскольку брак между братом и сестрой маловероятен, то можно было бы это значение считать равным (Lm-1)(Lm-2)/2, но мы этим уменьшением пренебрегаем или считаем, что такое возможно.
Во втором – LmxLm-1. При этом, количество предков (Lm) следует уменьшить на 2, поскольку обычно родители не могут быть братьями и сестрами своих детей. Но мы этим уменьшением пренебрегаем или считаем, что такое возможно. То есть предок из поколения m может быть братом или сестрой любому предку из поколения m-1.
В третьем случае – LmxLm-2. То есть предок из поколения m может быть братом или сестрой любому предку из поколения m-2.
Таким образом, общее количество ВКПБиС для поколения n+1 с учетом их наличия в трех поколениях равно: Ln2/2+LnxLn-1+LnxLn-2, и в результате этих ВКПБиС в следующем поколении произошла редукция предков.
Предположим, что в среднем получается уменьшение на 1 предка в результате К ВКПБиС. Коэффициент К назовем коэффициент редукции. При этом, в число этих ВКПБиС входит совокупность разно-вероятных событий (брат и/или сестра супруги/не супруги, из одного/разных поколений, один/два общих предка и прочее), в результате которых происходит одно пересечение предков.
При этом, 2n-1(2n-1/2+2n-2+2n-3)<K≤2n(2n/2+2n-1+2n-2) или следовательно 1,25х22(n-1)<K≤1,25х22n, где n –последнее поколение без редукции предков. Если K выходит за пределы указанного диапазона, то и n должно изменить свое значение.
Пример 1
Поскольку K это некая средняя величина для конкретных условий, то она может быть применена для любого последующего поколения, в которых будет происходить пропорциональное уменьшение предков.
Тогда, в поколении m+1 (m+1>n) количество ВКПБиС составит: Lm2/2+LmxLm‑1+LmxLm-2, и соответственно произойдет уменьшение удвоенного значения количества предков в предыдущем поколении (2Lm) на (Lm2/2+LmxLm-1+LmxLm-2)/K предков. В итоге в поколении m+1 количество предков будет равно:
2Lm‑(Lm2/2+LmxLm‑1+LmxLm-2)/K=Lm(2-(Lm/2+Lm-1+Lm-2)/K) (1)
Пример 2
Из формулы (1) видно, что если (Lm/2+Lm-1+Lm-2)<K, то количество предков в следующем поколении больше предыдущего, если (Lm/2+Lm-1+Lm-2)>K, то количество предков в следующем поколении меньше предыдущего, если (Lm/2+Lm‑1+Lm-2)=K, то количество предков остается неизменным.
Понятно, что в первых поколениях после редукции будет наблюдаться рост числа предков.
Найдем в общем виде количество предков (для максимального коэффициента редукции К=1,25х22n для первой редукции в поколении n+1:
Таблица 1
| Поколение | n-2 | n-1 | n | n+1 | |
| Количество предков | 2n-2 | 2n-1 | 2n | 2n+1-1 | … |
Найдем в общем виде количество предков (для максимального коэффициента редукции К=1,25х22(n+1)=1,25х22nх4)для первой редукции в поколении n+2:
Таблица 2
| Поколение | n-1 | n | n+1 | n+2 | |
| Количество предков | 2n-1 | 2n | 2n+1 | 2n+2-1 | … |
Из приведенной информации видно, что коэффициент редукции увеличился в 4 раза, но и количество предков увеличилось в 4 в поколениях n и n+1 (Таблица 2) по отношению к поколениям n-2 и n-1 (Таблица 1) соответственно, а в поколении n+2 увеличилось в 4 раза без одного предка.
Таким образом, из формулы: Ln(2-(Ln/2+Ln-1+Ln-2)/K) видно, что при увеличении числа предков в каждом поколении и коэффициента редукции в 4 раза, значение числа предков в каждом поколении также увеличивается практически в 4 раза. И следовательно, при разных коэффициентах редукции вид функции остается неизменным, поэтому исследовав функцию для конкретных n и К, результаты можно экстраполировать и на другие значения n и К.
Значения количества предков практически идентичны с коэффициентом 4 и разницей в 2 поколения.
Можно заметить (Таблица 1,2), что при увеличении коэффициента редукции в 2 раза, количество предков также увеличивается в 2 раза, начиная со следующего поколения.
При этом все значения количества предков при промежуточных значениях коэффициентов редукции будут находятся между соответствующими значениями количества предков.
Учитывая большую неопределенность в практической генеалогии, коэффициент редукции может быть округлен до ближайшего значения равного 1,25х2n.
Поскольку функция стремиться к постоянной величине, то значение функции Ln(2-(Ln/2+Ln-1+Ln-2)/K)=С, но и значения функции для предыдущих поколений равны С(Ln=Ln-1=Ln-2=С). Тогда С(2-(С/2+С+С)/K=C, откуда 2‑2,5С/К=1, следовательно, С=0,4K. То есть количество предков стремиться к постоянной величине равной 0,4K.
Пример 3
В случае изменения исходных данных (ввода весовых коэффициентов в формуле (1), уменьшения или увеличения количества поколений, влияющих на коэффициент редукции) количество предков может стремиться как к постоянному значению (с различным видом функции), так и находиться в определенном диапазоне бесконечно чередующихся значений. Но в данном исследовании используются наиболее вероятные исходные данные, на основании которых можно утверждать следующее.
Количество предков в каждом поколении в любой ветви дерева стремиться к постоянной величине, равной 0,4K (где K коэффициент редукции, равный количеству возможных комбинаций пар братьев и/или сестер, в результате которых происходит редукция на одного предка). Максимальное значение (0,63К) достигается в поколении 2n±1, минимальное (0,21К) через 3 поколения, где n- последнее поколение без редукции предков.
Удачи в поиске.
