Закон сталості кількості предків
Кількість предків в кожному поколінні, в будь-якої гілки дерева, прагнути до постійної величини (діапазону).
На практиці доцільно розглядати гілки з постійними умовами (місцевість, стан, віросповідання, національність і т.д.).
Пропонований закон тісно пов’язаний з трьома попередніми, один з яких, закон зменшення предків починає працювати, коли в висхідному дереві зустрічається пара предків, які мають спільних батьків або одного загального батька. Іншими словами, коли в висхідному дереві з’являються брати і / або сестри (рідні або зведені).
Припустимо, що в поколінні n+1 сталася перша редукція предків. Це стало наслідком того, що в поколінні n (в якому кількість предків одно 2n, якщо вважати себе в нульовому поколінні) з’явилися брати і / або сестри, які можуть перебувати в тому ж поколінні n або раніших.
З огляду на, що брати і / або сестри є дітьми одних батьків, то кількість поколінь до них буде приблизно однаковим. Але оскільки вік братів і / або сестер може відрізнятися років на 20 (близько 1 покоління), а також існує значна ймовірність, що на сто років може випасти діяльність 3 або 4 поколінь, то найбільш імовірно, що брати і / або сестри виявляться в одному поколінні, сусідніх або через одне покоління.
Таким чином, якщо розглядати можливість редукції за рахунок братів і / або сестер протягом трьох поколінь, то можливі 3 варіанти.
Кожен брат і / або сестра повинні мати двох предків на одне покоління вище за них. При цьому зменшення предків відбувається за рахунок батьків, які перебувають в більш старшому поколінні. У зазначених прикладах редукція відбувається в поколінні n+1.
Позначимо через Lm, Lm-1, Lm-2 – кількість предків в m, m-1 і m-2 поколіннях відповідно. Для першого покоління, в якому сталася редукція предків (n+1) ці значення відповідно рівні 2n, 2n-1, 2n-2.
Тоді в першому випадку кількість можливих комбінацій пар братів і / або сестер (далі-ВКПБіС) одно.
Взагалі-то, оскільки шлюб між братом і сестрою малоймовірний, то можна було б це значення вважати рівним (Lm-1)(Lm-2)/2, але ми цим зменшенням нехтуємо або вважаємо, що таке можливо.
У другому – LmxLm-1. При цьому, кількість предків (Lm) слід зменшити на 2, оскільки зазвичай батьки не можуть бути братами і сестрами своїх дітей. Але ми цим зменшенням нехтуємо або вважаємо, що таке можливо. Тобто предок з покоління m може бути братом або сестрою будь-якому предку з покоління m-1.
У третьому випадку – LmxLm-2. Тобто предок з покоління m може бути братом або сестрою будь-якому предку з покоління m-2.
Таким чином, загальна кількість ВКПБіС для покоління n+1 з урахуванням їх наявності в трьох поколіннях одно: Ln2/2+LnxLn-1+LnxLn-2, і в результаті цих ВКПБіС в наступному поколінні сталася редукція предків.
Припустимо, що в середньому виходить зменшення на 1 предка в результаті До ВКПБіС. Коефіцієнт К назвемо коефіцієнт редукції. При цьому, в число цих ВКПБіС входить сукупність різно-ймовірних подій (брат і / або сестра дружини / не подружжя, з одного / різних поколінь, один / два загальних предка та інше), в результаті яких відбувається одне перетин предків.
При цьому, 2n-1(2n-1/2+2n-2+2n-3)<K≤2n(2n/2+2n-1+2n-2) або отже 1,25х22(n-1)<K≤1,25х22n, де n- последнее покоління без редукції предків. Якщо K виходить за межі вказаного діапазону, то і n має змінити своє значення.
Приклад 1
Оскільки K це якась середня величина для конкретних умов, то вона може бути застосована для будь-якого наступного покоління, в яких відбуватиметься пропорційне зменшення предків.
Тоді, в поколінні m+1(m+1>n) кількість ВКПБіС складе: Lm2/2+LmxLm-1+LmxLm-2, і відповідно відбудеться зменшення подвоєного значення кількості предків в попередньому поколінні (2Lm)на(Lm2/2+LmxLm-1+LmxLm-2)/K предків. У підсумку в поколінні m+1 кількість предків дорівнюватиме:
2Lm-(Lm2/2+LmxLm-1+LmxLm-2)/K=Lm(2-(Lm/2+Lm-1+Lm-2)/K) (1)
Приклад 2
З формули (1) видно, що якщо (Lm/2+Lm-1+Lm-2)<K, то кількість предків в наступному поколінні більше попереднього, якщо (Lm/2+Lm-1+Lm-2)>K, то кількість предків в наступному поколінні менше попереднього, якщо (Lm/2+Lm-1+Lm-2)=K, то кількість предків залишається незмінним.
Зрозуміло, що в перших поколіннях після редукції буде спостерігатися зростання числа предків.
Знайдемо в загальному вигляді кількість предків (для максимального коефіцієнта редукції К=1,25х22n для першої редукції в поколінні n+1:
Таблиця 1
| Покоління | n-2 | n-1 | n | n+1 | |
| Кількість предків | 2n-2 | 2n-1 | 2n | 2n+1-1 | … |
Знайдемо в загальному вигляді кількість предків (для максимального коефіцієнта редукції К=1,25х22(n+1)=1,25х22nх4) для першої редукції в поколінні n+2:
Таблиця 2
| Покоління | n-1 | n | n+1 | n+2 | |
| Кількість предків | 2n-1 | 2n | 2n+1 | 2n+2-1 | … |
З наведеної інформації видно, що коефіцієнт редукції збільшився в 4 рази, а й кількість предків збільшилася в 4 в поколіннях n і n+1 (Таблиця 2) по відношенню до поколінням n-2 і n-1 (Таблиця 1) відповідно, а в поколінні n+2 збільшилася в 4 рази без одного предка.
Таким чином, з формули: Ln(2-(Ln/2+Ln-1+Ln-2)/K) видно, що при збільшенні числа предків в кожному поколінні і коефіцієнта редукції в 4 рази, значення числа предків в кожному поколінні також збільшується практично в 4 рази. І отже, при різних коефіцієнтах редукції вид функції залишається незмінним, тому дослідивши функцію для конкретних n і К, результати можна екстраполювати і на інші значення n і К.
Значення кількості предків практично ідентичні з коефіцієнтом 4 і різницею в 2 покоління.
Можна помітити (Таблиця 1,2), що при збільшенні коефіцієнта редукції в 2 рази, кількість предків також збільшується в 2 рази, починаючи з наступного покоління.
При цьому всі значення кількості предків при проміжних значеннях коефіцієнтів редукції будуть знаходяться між відповідними значеннями кількості предків.
З огляду на велику невизначеність в практичній генеалогії, коефіцієнт редукції може бути заокруглений до найближчого значення рівного 1,25х2n.
Оскільки функція прагнути до постійної величини, то значення функції Ln(2-(Ln/2+Ln-1+Ln-2)/K)=С, але і значення функції для попередніх поколінь рівні С(Ln=Ln-1=Ln-2=С). Тоді С(2-(С/2+С+С)/K=C, звідки 2-2,5С/К=1, отже, С=0,4K. Тобто кількість предків прагнути до постійної величини дорівнює 0,4K.
Приклад 3
У разі зміни вихідних даних (введення вагових коефіцієнтів у формулі (1), зменшення або збільшення кількості поколінь, які впливають на коефіцієнт редукції) кількість предків може прагнути як до постійного значення (з різним видом функції), так і перебувати в певному діапазоні нескінченно чергуються значень. Але в даному дослідженні використовуються найбільш ймовірні вихідні дані, на підставі яких можна стверджувати наступне.
Кількість предків в кожному поколінні в будь-якої гілки дерева прагнути до постійної величини, яка дорівнює 0,4K (де K коефіцієнт редукції, що дорівнює кількості можливих комбінацій пар братів і / або сестер, в результаті яких відбувається редукція на одного предка). Максимальне значення (0,63К) досягається в поколінні 2n±1, мінімальне (0,21К) через 3 покоління, де n- останнє покоління без редукції предків.
Успіхів у пошуку.
